En söndag i Boulognerskogen

fondation_louis_vuitton

Efter att hela veckan ha besvärats av en förkylning, var det skönt att vakna imorse och känna att symptomen var på väg att ge sig. Prognosen hade lovat sol och 8 grader, och även om en titt ut genom fönstret visade att ett förargligt dis låg som ett lock över staden, så såg vädret på det hela taget ganska trevligt ut. Jag bestämde mig därför för att ge mig ut på en löptur bland söndagsflanörerna i Bois de Boulogne.

Någon timme senare lubbade jag runt bland träden och gjorde mitt bästa för att undvika att kollidera med hundar och barnfamiljer. En kall vind i kombination med diset som skymde solen fick mig snart att inse att t-shirt och kortbyxor hade varit ett väl optimistiskt klädval, men skam det som ger sig, så jag kämpade vidare. Plötsligt såg jag märkliga former sticka upp över träden en bit bort. Jag tog sikte på dem, och snart stod jag framför Fondation Louis Vuitton, ett konstmuseum, invigt hösten 2014, ritat av den amerikanske arkitekten Frank Gehry (kanske mest känd som arkitekten bakom Guggenheimmuseet i Bilbao, och som tidigare i Paris även ritat den byggnad i vilken Cinémathèque Française huserar).

Museets böljande former fick mig att tänka tillbaka på en lunchföreläsning på UPMC som jag hade nöjet att närvara vid i september i höstas. Föreläsningen gavs av Emmanuel Ferrand, och bar det passande namnet Calcul différentiel et géométrie illustrés par la biologie et l’architecture. Under en timme avhandlades bland annat de fascinerande illustrationer av matematikern och biologen D’Arcy Wentworth Thompson från hans berömda bok On Growth and Form som visar hur avbildningar av olika djur kan transformeras (tänk diffeomorfi) så att de liknar andra arter, samt några av de skapelser som den amerikanske arkitekten och uppfinnaren Richard Buckminster Fuller berikade vår planet med. Som exempel kan nämnas att Fuller hade för vana att experimentera med okonventionella former för byggnader, varav den geodetiska kupolen nog är den som idag främst förknippas med hans namn. Han har på senare år fått ge namn åt fullerenerna (däribland buckminsterfullerenen C_{60}, vars upptäckt 1985, två år efter att Fuller lämnat jordelivet, skulle komma att ge Robert Curl, Harold Kroto och Richard Smalley nobelpriset i kemi 1996).

Annonser

Un petit devoir

Efter att ha spenderat kvällen tillsammans med min trogne vapendragare Texmaker (som jag varmt kan rekommendera), har jag nu äntligen knåpat ihop och skickat in vårens första devoir (inlämningsuppgift, hemuppgift) i kursen Théorie des nombres. Uppgiften bestod i tre delar, och utmynnade i ett bevis av Ostrowskis sats, som säger att varje icke trivialt absolutbelopp på de rationella talen är ekvivalent med antingen standardabsolutbeloppet \;|.|\; eller med det p-adiska absolutbeloppet \;|.|_p\; för något primtal p. Man kallar två absolutbelopp ekvivalenta om metrikerna de inducerar ger upphov till samma topologi.

På UPMC närmar vi oss terminens första tentaperiod. Nästa vecka har jag tentamen i algebraisk topologi, och veckan därpå är två partiels (duggor), den ena i kombinatorik och den andra i talteori, inplanerade. Tentaförfarandet är lite mer avslappnat i Frankrike än vad jag är van vid från Sverige. Man verkar inte känna något större behov av att planera in tentor i förväg. Istället kastar in dem i kalendern på något lämpligt datum när tiden är mogen för det. Ett par veckor innan utsatt datum informerar man om tentan på en föreläsning. Har man tur kan ytterligare information finnas att tillgå på ansvarig lärares hemsida, men det är snarare undantag än regel.

De tentor jag hittills har skrivit på UPMC har skilt sig markant från de jag skrivit i Sverige. Ofta har tiden varit knapp (90 minuter, även om längre tentor, upp till 3 timmar, också har förekommit) och uppgifterna många (ibland verkligen många). Vanligtvis har man förlagt duggorna till ordinarie föreläsningstillfällen, och då även använt den ordinarie föreläsningssalen till skrivningen. För mig var omställningen chockartad (främst för att jag tycker om att ha gott om tid på mig, åtminstone då jag ska skriva på franska!) men jag har i vilket fall börjat vänja mig vid fransosernas metoder. Och nog är bra att då och då skakas om lite, så att man inte fastnar i samma gamla hjulspår.

Kompletteringar i Cannes

cannes

Efter några grådaskiga veckor i Paris fick jag nog. Jag packade min ryggsäck och tog en nattbuss till Marseille varifrån jag tog tåget vidare till Cannes. Egentligen var beslutet att åka till rivieran inte riktigt så spontant som min inledande mening kanske antyder. Faktum är att jag redan för någon vecka sedan anmälde mig till Semi de Cannes, ett halvmaraton som anordnas i helgen i den klassiska semesterorten, och det är därför jag för några dagar har bytt min regniga, parisiska vardag mot en solig weekend vid Medelhavet. Den faktiska resplanen spikades dock först för ett par dagar sedan, och möjligen kommer en pågående strejk i Provence-Alpes-Côte d’Azur att ytterligare påverka hemresan. Det blir som det blir med det.

Under bussresan till Marseille gjorde jag ett tappert försök att sätta mig in i konstruktionen av de p-adiska talen, som för varje primtal p utgör en kroppsutvidgning av de rationella talen \mathbb{Q}, och som betecknas \mathbb{Q}_p. Närmare bestämt är \mathbb{Q}_p en komplettering av \mathbb{Q}, vilket innebär att man till \mathbb{Q} har lagt till alla de gränsvärden av rationella talserier som inte själva är rationella. Givet standardmetriken på \mathbb{Q}, d.v.s. metriken som ges av d(x,y)=|x-y|, så utgörs kompletteringen av de rationella talen av de reella talen \mathbb{R}. I fallet med de p-adiska talen ger man istället \mathbb{Q} en metrik baserad på det så kallade p-adiska absolutbeloppet, betecknat |.|_p. Den p-adiska metriken d(x,y)=|x-y|_p har egenskapen att x och y ligger nära varandra om deras differens är delbar med p^k för ett stort heltal k. Den är en så kallad ultrametrik, vilket innebär att triangelolikheten i ett rum utrustat med den p-adiska metriken kan ersättas med den starkare olikheten d(x,z)\leq\text{max}\{d(x,y),d(x,z)\}. Detta får ett antal intressanta geometriska följdverkningar. Bland annat är alla trianglar i ett ultrametrisk rum likbenta och varje punkt i en cirkel är dess centrum.

De p-adiska talen har tillämpningar i talteori, där exempelvis Hasse-Minkowskis sats kan användas för att avgöra huruvida vissa diofantiska ekvationer är lösbara. Av den anledningen figurerar de i kursen Théorie des nobres, som jag läser under våren.

Mousse au chocolat

På UPMC hålls en gång i månaden en timmeslång lunchföreläsning i matematik där en inbjuden talare berättar om något intressant ämne på ett sätt som kan tänkas tilltala en bred publik utan särskilda förkunskaper, gärna med en liten twist. Syftet är att inspirera och väcka intresse, och målgruppen är företrädesvis mattestudenter på alla nivåer. Föreläsningsserien går under namnet Aromaths, och under hösten 2015 har ämnen som gorillor och kvadratiska former samt differentialgeometri och arkitektur tagits upp. Förra veckan var det dags för vårens första lunchföreläsning. Juliette Bavard, doktorand på UMPC vars forskningsområde innefattar bland annat lågdimensionell topologi och geometri, höll i rodret, och hon bjöd på en mycket intressant föreläsning på temat hur tillagning av chokladmousse kan förstås från ett topologiskt perspektiv.

Detta tema faller under det relativt nya ämnet topological fluid dynamics, vars mål, föga överraskande, är att studera de topologiska egenskaperna hos fluider (såsom chokladmousse) i rörelse. Tänk dig att du ska vispa chokladmousse. Till din hjälp har du en elvisp. Hur ska elvispens två vispar snurra för att på bästa sätt blanda chokladmoussen? Åt samma håll, eller åt olika håll?

Kanske var det liknande funderingar som manade Philip Boyland, Hassan Aref och Mark Stremler att tillsammans knåpa ihop den fascinerande artikeln Topological fluid mechanics of stirring, som publicerades i Journal of Fluid Mechanics år 2000 och från vilken Juliette hämtat delar av materialet till sin lunchföreläsning. Här beskrivs på ett översiktligt och lättillgängligt sätt, med flertalet illustrationer och utan att fastna i tekniska detaljer, hur topologin hos en yta under omrörning kan förstås genom att betrakta  topologiska flätor, samt genom att tillämpa Thurston-Nielsens klassifikationssats. Tanken är att man utgår från en stor disk D i vilken man placerar n vispar V_1,V_2,\hdots,V_n i form av små diskar, som sedan rör sig kontinuerligt i D (detta är själva omrörningen). Låt således V_{i,t} \subset D beteckna den plats som V_i upptar vid tidpunkten t \geq 0. Vi ställer kravet att V_{i,t} \cap \partial D = \emptyset och V_{i,t} \cap V_{j,t} = \emptyset för alla i, j \in \{ 1, 2, \hdots, n \} och för alla t \geq 0. Vår fluid är den yta i D som inte upptas av visparna, det vill säga X_t = D \setminus (V_{1,t} \cup V_{2,t} \cup \hdots \cup V_{n,t}). Vi kräver av fluiden att en punk som vid t = 0 ligger an mot antingen D eller någon av visparna, också kommer att göra det vid alla t>0 (fluiden kommer alltså att följa med visparna när de rör sig run i D). Själva omrörningen betraktas sedan som en homeomorfism från X_0 till X_t. Man begränsar sig sedan till att studera isotopiklasser av sådana homeomorfismer.

Gauss-Lucas sats

Ett intressant resultat om rötterna till polynom med komplexa koefficienter, kallat Gauss-Lucas sats, är att, givet ett icke konstant polynom P \in \mathbb{C} [X]\; av grad n vars (icke nödvändigtvis distinkta) rötter är z_1,z_2,\hdots,z_n\; så återfinns samtliga rötter till dess derivata P' i det konvexa höljet \text{Conv} (\{z_1,z_2,\hdots,z_n\}) av P:s rötter. Gauss-Lucas sats har uppenbara likheter med Rolles sats, som i sin tur är ett specialfall av medelvärdessatsen. Observera dock att Rolles sats och medelvärdessatsen inte håller för komplexvärda funktioner.

Jag blev bekant med Gauss-Lucas sats efter att dess bevis figurerat som en övningsuppgift i kursen Algèbre géométrique som jag läste under hösten 2015, och fattade genast tycke för den (antagligen just för att den har en så tydlig geometrisk tolkning).

Bevis

Algebrans fundamentalsats låter oss skriva P=c\cdot\Pi_{i=1}^n (z-z_i). Vi tar logaritmen och deriverar, och erhåller då

\frac{P'(z)}{P(z)} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{z-z_i}.

Om z är en rot till P' som inte är en rot till P, så följer att

\frac{P'(z)}{P(z)} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{z-z_i}=0 \;\Rightarrow\; \sum_{i=1}^n\frac{\overline{z}-\overline{z_i}}{|z-z_i|^2}=0.

Från detta följer att

\overline{z}\cdot\sum_{i=1}^n\frac{1}{|z-z_i|^2}=\sum_{i=1}^n\frac{\overline{z_i}}{|z-z_i|^2},

och genom att stuva om lite och konjugera båda leden ser vi att

z=\sum_{i=1}^n\left(\dfrac{z_i}{\sum_{j=1}^n\frac{|z-z_i|^2}{|z-z_j|^2}}\right).

Vi ser nu att z kan skrivas som summan \sum_{i=1}^n\alpha_i z_i, där 0\leq\alpha_i\; och \sum_{i=1}^n\alpha_i=1. Roten z till P' är således en konvexkombination av rötterna z_1,z_2,\hdots,z_n\; till P, vilket innebär att z \in \text{Conv} (\{z_1,z_2,\hdots,z_n\}).

Om, å andra sidan, z är en rot till P' som också är en rot till P, så ser vi genast att z \in \text{Conv} (\{z_1,z_2,\hdots,z_n\}).

\square

Cité internationale universitaire de Paris

maison_internationale

Våren 2015, efter att min ansökan om utbytesstudier vid UPMC hade gått igenom, började jag fundera på hur jag skulle bära mig åt för att skaffa ett boende i Paris, och i vanlig ordning valde jag att skjuta detta problem på framtiden. Veckorna gick, och jag hade så smått börjat irritera mig över min egen oförmåga att ta tag i dylika saker i god tid, då det plötsligt damp ner ett mail från UPMC:s Bureau d’accueil des étudiants et chercheurs étrangers i min inkorg, som informerade om att det fanns möjlighet att få hjälp från universitetet med att lösa bostadssituationen om man så önskade. Jag svarade att sådana önskemål absolut fanns, och någon vecka senare hade de ordnat ett rum åt mig i Cité internationale universitaire de Paris (CiuP) från september 2015 till och med juni 2016.

CiuP är ett bostadsområde och en park i Paris 14:e arrondissement vars huvudsakliga syfte är att härbergera studenter och forskare från hela världen som under en tid vistas i Paris. Det grundades efter andra världskriget av den franske politikern André Honnorat i sammarbete med affärsmannen Émile Deutsch de la Meurthe i syfte dels att råda bot på den då rådande bostadsbristen i Paris, dels att läka såren från kriget genom att skapa en mötesplats för människor från olika olika kulturer och med olika nationaliteter.

Idag består CiuP av ett fyrtiotal maisons (hus) av olika storlek som tillsammans inhuserande knappt 6 000 personer, och som genom åren tillkommit med hjälp av donationer från de organisationer och välgörare som sedan ofta har givit dem deras namn. Bland husen kan nämnas Maison des étudiants suédois (svenska studenthemmet) samt Résidence Lucien Payé (ursprungligen kallat Maison de la France d’Outre-Mer) vilket är det hus där jag bor. Husen ligger utspridda i en park, samlade kring Maison internationale, en byggnad som inhyser bland annat restaurang (där studenter äter lunch och middag för 3,25 €), bibliotek, gym och simbassäng. Många av husen i CiuP är ritade av välkända arkitekter och håller hög arkitektonisk klass. Här finns bland andra två byggnader som ritats av Le Corbusier (Fondation suisse och Maison du Brésil, av vilka den andra ritades tillsammans med Lucio Costa, känd som upphovsman till Brasílias fågelformade stadsplan) samt Collège néerlandais, den enda byggnad i Frankrike som ritats av den framstående nederländske modernisten Willem Marinus Dudok.

Mitt eget boende på fjärde våningen i Résidence Lucien Payé är enkelt men fyller mer än väl mina behov. Jag har ett rum på uppskattningsvis tolv kvadratmeter med en garderob och ett handfat med spegelskåp i en liten hall, inrett med en säng, ett skrivbord och en bokhylla samt två stolar och ett litet kylskåp. Duschar och toaletter är gemensamma för varje våningsplan, men städas regelbundet och hålls därför i gott skick. Mitt rum städas en gång i veckan och rena lakan tillhandahålls varannan vecka. Allt detta ingår i månadshyran, som är 3 875 €. Entrén till huset är bemannad från morgon till midnatt, vilket är smidigt om man exempelvis väntar på en leverans som kräver kvittens.

Från CiuP är det nära både till bussar, tunnelbana, pendeltåg och spårvagn. Själv föredrar jag att promenera, och väljer därför oftast att gå till universitetet, vilket tar ungefär 45 minuter (avståndet är omkring 3,5 kilometer). Alldeles intill CiuP ligger Parc Montsouris, en park på 15 hektar som anlades av Georges-Eugène Haussmann som en del av Napoleon III:s stora stadsbyggnadsprojekt som under andra halvan av 1800-talet förvandlade Paris till den stad vi känner idag. Här finns bland annat en liten dam, omgärdad av träd, vid vilken man på eftermiddagarna kan sitta på en parkbänk och fundera över dagens föreläsningar (eller vad man nu har att fundera på). Parken är oerhört populär bland joggare, som från morgon till kväll nöter sina skosulor mot dess slingrande vägar. Känner man för att röra på benen behöver man med andra ord inte oroa sig över att behöva springa ensam.

Université Pierre et Marie Curie

Då man talar om universitet i Paris nämns ofta Sorbonne, men faktum är att Sorbonne endast är namnet på den byggnad i Quartier latin som var säte för Université de Paris (ibland familjärt också kallat Sorbonne). Université de Paris hade anor från 1100-talet, men gick i graven 1970. Dess arv lever dock vidare genom, bland andra, université de Pierre et Marie Curie

UPMC

Université Pierre et Marie Curie, även kallat UPMC eller Paris 6, är ett universitet som huserar i Latinkvarteren i Paris 5:e arrondissement. UPMC är en direkt arvtagare till université de Paris, mer känt under namnet Sorbonne, som i kölvattnet av majrevolten 1968 delades upp i 13 sinsemellan oberoende universitet (varav alla tilldelades ett nummer, därav namnet Paris 6).

UPMC bedriver forskning och utbildning inom teknik, naturvetenskap och medicin, och är den största institutionen av sitt slag i Frankrike, med över 30 000 studenter och 10 000 anställda. Det är ett mycket högt ansett lärosäte, både i Frankrike och internationellt, vilket bland annat går att utläsa ur de universitetsrankningar där UPMC utmärkt sig (se bland annat ARWU och URAP).

Campus de Jussieu

UPMC har sitt huvudsakliga säte i campus de Jussieu, som ligger invid Seine i Latinkvarteren, alldeles intill Jardin des Plantes och ett stenkast från Île de la Cité (se karta). Sin nuvarande form fick Campus de Jussieu på 60-talet, då den franske arkitekten Édouard Albert fick i uppdrag att snabbt uppföra en universitetsbyggnad på platsen för den gamla vinmarknaden halle aux vins, stor nog att inrymma de talrika fyrtiotalister som då började närma sig vuxen ålder. Resultatet av Édouards arbete är den enorma byggnad som idag står på platsen, svävande på tunna stålpelare över en ett förhöjt markplan; en konstruktion som i och med den senaste tidens höjda säkerhetsläge tyvärr mer eller mindre har skärmat av universitetet från de omgivande kvarteren.

Campus de Jussieu anses av många vara ett arkitektoniskt misslyckande, och många jag har talat med upplever också universitetsområdet som monotont, desorienterande och i största allmänhet nedslående. Jag kan inte annat än hålla med. Till de positiva aspekter som man ändå måste tillskriva Campus de Jussieu är att det för det mesta är relativt enkelt att hitta dit man ska, emedan man använder ett system för rumssnumrering som är både konsekvent och lättbegripligt.