Gauss-Lucas sats

Ett intressant resultat om rötterna till polynom med komplexa koefficienter, kallat Gauss-Lucas sats, är att, givet ett icke konstant polynom P \in \mathbb{C} [X]\; av grad n vars (icke nödvändigtvis distinkta) rötter är z_1,z_2,\hdots,z_n\; så återfinns samtliga rötter till dess derivata P' i det konvexa höljet \text{Conv} (\{z_1,z_2,\hdots,z_n\}) av P:s rötter. Gauss-Lucas sats har uppenbara likheter med Rolles sats, som i sin tur är ett specialfall av medelvärdessatsen. Observera dock att Rolles sats och medelvärdessatsen inte håller för komplexvärda funktioner.

Jag blev bekant med Gauss-Lucas sats efter att dess bevis figurerat som en övningsuppgift i kursen Algèbre géométrique som jag läste under hösten 2015, och fattade genast tycke för den (antagligen just för att den har en så tydlig geometrisk tolkning).

Bevis

Algebrans fundamentalsats låter oss skriva P=c\cdot\Pi_{i=1}^n (z-z_i). Vi tar logaritmen och deriverar, och erhåller då

\frac{P'(z)}{P(z)} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{z-z_i}.

Om z är en rot till P' som inte är en rot till P, så följer att

\frac{P'(z)}{P(z)} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{z-z_i}=0 \;\Rightarrow\; \sum_{i=1}^n\frac{\overline{z}-\overline{z_i}}{|z-z_i|^2}=0.

Från detta följer att

\overline{z}\cdot\sum_{i=1}^n\frac{1}{|z-z_i|^2}=\sum_{i=1}^n\frac{\overline{z_i}}{|z-z_i|^2},

och genom att stuva om lite och konjugera båda leden ser vi att

z=\sum_{i=1}^n\left(\dfrac{z_i}{\sum_{j=1}^n\frac{|z-z_i|^2}{|z-z_j|^2}}\right).

Vi ser nu att z kan skrivas som summan \sum_{i=1}^n\alpha_i z_i, där 0\leq\alpha_i\; och \sum_{i=1}^n\alpha_i=1. Roten z till P' är således en konvexkombination av rötterna z_1,z_2,\hdots,z_n\; till P, vilket innebär att z \in \text{Conv} (\{z_1,z_2,\hdots,z_n\}).

Om, å andra sidan, z är en rot till P' som också är en rot till P, så ser vi genast att z \in \text{Conv} (\{z_1,z_2,\hdots,z_n\}).

\square

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut / Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut / Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut / Ändra )

Google+ photo

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut / Ändra )

Ansluter till %s