Kompletteringar i Cannes

cannes

Efter några grådaskiga veckor i Paris fick jag nog. Jag packade min ryggsäck och tog en nattbuss till Marseille varifrån jag tog tåget vidare till Cannes. Egentligen var beslutet att åka till rivieran inte riktigt så spontant som min inledande mening kanske antyder. Faktum är att jag redan för någon vecka sedan anmälde mig till Semi de Cannes, ett halvmaraton som anordnas i helgen i den klassiska semesterorten, och det är därför jag för några dagar har bytt min regniga, parisiska vardag mot en solig weekend vid Medelhavet. Den faktiska resplanen spikades dock först för ett par dagar sedan, och möjligen kommer en pågående strejk i Provence-Alpes-Côte d’Azur att ytterligare påverka hemresan. Det blir som det blir med det.

Under bussresan till Marseille gjorde jag ett tappert försök att sätta mig in i konstruktionen av de p-adiska talen, som för varje primtal p utgör en kroppsutvidgning av de rationella talen \mathbb{Q}, och som betecknas \mathbb{Q}_p. Närmare bestämt är \mathbb{Q}_p en komplettering av \mathbb{Q}, vilket innebär att man till \mathbb{Q} har lagt till alla de gränsvärden av rationella talserier som inte själva är rationella. Givet standardmetriken på \mathbb{Q}, d.v.s. metriken som ges av d(x,y)=|x-y|, så utgörs kompletteringen av de rationella talen av de reella talen \mathbb{R}. I fallet med de p-adiska talen ger man istället \mathbb{Q} en metrik baserad på det så kallade p-adiska absolutbeloppet, betecknat |.|_p. Den p-adiska metriken d(x,y)=|x-y|_p har egenskapen att x och y ligger nära varandra om deras differens är delbar med p^k för ett stort heltal k. Den är en så kallad ultrametrik, vilket innebär att triangelolikheten i ett rum utrustat med den p-adiska metriken kan ersättas med den starkare olikheten d(x,z)\leq\text{max}\{d(x,y),d(x,z)\}. Detta får ett antal intressanta geometriska följdverkningar. Bland annat är alla trianglar i ett ultrametrisk rum likbenta och varje punkt i en cirkel är dess centrum.

De p-adiska talen har tillämpningar i talteori, där exempelvis Hasse-Minkowskis sats kan användas för att avgöra huruvida vissa diofantiska ekvationer är lösbara. Av den anledningen figurerar de i kursen Théorie des nobres, som jag läser under våren.

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut / Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut / Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut / Ändra )

Google+ photo

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut / Ändra )

Ansluter till %s