Återblick: oktober och november 2015

notre-dame_de_reims

Sent omsider har jag nu äntligen tagit mig tid att sitta ner för att skriva ytterligare några rader om hur min hösttermin 2015 vid UPMC förflöt. Jag har i ett tidigare inlägg kortfattat berättat om de första trevande veckorna, och har nu för avsikt att fortsätta min återblick med den del av terminen som varken kan kallas för början eller slut.

Efter att ha funnit mig tillrätta i mina nya omgivningar tog, som brukligt, vardagen vid. Samtliga tre kurser som jag läste sträckte sig över hela terminen, så förutom några duggor i slutet av oktober och mitten av november, samt återkommande inlämningsuppgifter i franskakursen (mestadels bestående av korta uppsatser), bestod veckorna mestadels av föreläsningar och studier på egen hand. Mellan föreläsningarna spenderade jag mycket tid i biblioteket MIR (Mathématiques-Informatique Recherche) och emellanåt promenerade jag i angränsande Jardin des Plantes för att samla tankarna, betrakta andra tankspridda flanörer, och följa höstens framfart i raderna av planteringar.

I månadsskiftet september-oktober hade jag det stora nöjet att stifta bekantskap med Institut Henri Poincaré (IHP) under konferensen New Spaces in Mathematics & Physics, där bland annat Roger Penrose höll ett mycket intressant föredrag om twistorteori. Penrose hade grävt fram en overheadprojektor som han manövrerade med van hand, och hans handritade overheadblad gav presentationen en personlig touch som nästan kändes lite exotisk och spännande i dagens alltmer digitala tillvaro (för den som är intresserad av Penroses overheadfärdigheter kan jag rekommendera att kasta ett öga på detta klipp, där han visar några fascinerande moirémönster). IHP ligger mycket nära UPMC både fysiskt, mindre än tio minuter till fots, och administrativt, då det drivs gemensamt av UPMC och CNRS som en école interne. Dess föreståndare är sedan 2009 den karismatiske Cédric Villani.

Jag hann även med att ta mig utanför Paris vid några tillfällen. Den andra helgen i oktober tog jag en buss till Reims, i hjärtat av champagnedistriktet, där jag, förutom att äta gott och spana in den berömda gotiska katedralen, sprang ett välarrangerat, men kuperat och jobbigt, maraton på söndagen (arrangemanget är återkommande och går under namnet Run in Reims). Naturligtvis bjöds det på champagne efter målgång! I början av november spenderade jag några sköna dagar i badorten Deauville vid Engelska kanalen, känd som favorittillflyktsort för välbärgade Parisare samt som inspirationskälla till den fiktiva orten Balbec i Marcel Prousts romansvit À la recherche du temps perdu.

På det matematiska planet fick jag under hösten möjlighet att ta mitt kunnande till helt nya nivåer. Tempot var högt och kurserna var innehållsrika och utmanande. Nya samband dök upp där jag minst anade dem, och jag fick anledning att damma av mängder av gamla färdigheter som legat i träda för att sedan genast kombinera dem på nya sätt. På så vis kunde jag under hösten befästa mina tidigare kunskaper genom att i olika konstellationer låta dem samspela för att lösa nya problem. Som ett i mängden av alla tänkbara exempel kan nämnas konstruktioner av kvotmångfalder genom gruppverkan. Överlag var det en mycket angenäm och inspirerande upplevelse, som därefter utan uppehåll har fortsatt under våren.

Här väljer jag att sätta punkt för dagen. Jag har för avsikt att inom kort avsluta min återblick av höstterminen 2015 i ett tredje och sista inlägg på temat.

Annonser

Fjärilar, biljard och en triangulerad tjur

Idag gick jag på en lunchföreläsning på temat fjärilar och biljard. Den gavs av Jean-Pierre Marco som en del av UPMC:s föreläsningsserie Aromaths, och gav en kort introduktion till matematisk biljard och topologisk entropi i dynamiska system (därav kopplingen till fjärilar). Även om temat var något bekant sedan tidigare, så var föreläsningen i högsta grad en ögonöppnare.

För den som är road av djur och topologi kan jag vidare rekommendera ett besök på sidan Analysis Situs (uppkallad efter Henri Poincarés berömda artikel), som har som syfte att på ett pedagogiskt sätt illustrera och visualisera olika topologiska koncept. En av sidans höjdpunkter utgörs av en animation av en kompakt, triangulerad tjur, misstänkt lik skulpturen Charging Bull, som elegant reduceras till normalform för att enkelt kunna klassificeras. Den återfinns här.

Något om determinanter

Låt u_1=(1,2,\hdots,n)\in\mathbb{R}^n, och låt u_k=\pi_k\cdot u_1 för k=1,2,\hdots,n, där \pi_k\in S_n är den transposition som byter plats på elementen k och (k-1). Vi ska undersöka determinanten till den kvadratiska n\times n-matrisen U_n vars kolonnvektorer utgörs av u_1,u_2,\hdots,u_n. Några exempel får tydligaregöra konstruktionen:

U_3=\begin{pmatrix}1&2&1\\ 2&1&3\\ 3&3&2\end{pmatrix}, U_4=\begin{pmatrix}1&2&1&1\\ 2&1&3&2\\ 3&3&2&4\\ 4&4&4&3\end{pmatrix}, U_5=\begin{pmatrix}1&2&1&1&1\\ 2&1&3&2&2\\ 3&3&2&4&3\\ 4&4&4&3&5\\ 5&5&5&5&4\end{pmatrix}.

Innan vi gör något annat introducerar vi n\times n-matrisen A_n, som vi definierar enligt följande:

A_n=\begin{pmatrix}0&1&1& &1\\ 1&0&0&\hdots&0\\ 0&0&0& &0\\ &\vdots& &\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\hdots&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1& & & & \\ -1&1& & & \\ &-1&1& & \\ & &\ddots&\ddots& \\ & & &-1&1\end{pmatrix}.

Att beräkna determinanten till A_n görs enkelt genom att alternerande laplaceutveckla längs första kolonnen och första raden. Man finner då att |A_n|=1. Vi kommer strax att ha nytta av detta resultat.

Åter till beräkningen av |U_n|. Vi konstaterar först att |U_1|=1. Låt därför n>1 och betrakta |U_n|. Radreducering ger oss följande identitet:

|U_n|=\begin{vmatrix}1&2&1& &1\\ 2&1&3&\hdots&2\\ 3&3&2& &3\\ &\vdots& &\ddots&\vdots\\ n&n&n&\hdots&n-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&1& &1\\ 0&-3&1&\hdots&0\\ 0&-3&-1& &0\\ &\vdots& &\ddots&\vdots\\ 0&-n&0&\hdots&-1\end{vmatrix}.

Genom att laplaceutveckla determinanten längs den n:e raden ser vi att

|U_n|=n(-1)^{n+1}|A_n|-|U_{n-1}|=n(-1)^{n+1}-|U_{n-1}|.

Eftersom |U_1|>0 och n(-1)^{n+1} är positivt för udda n och negativt annars, så ser vi att |U_n| också är positiv för udda n och negativ annars, emedan n(-1)^{n+1} och -|U_{n-1}| alltid har samma tecken. Därav följer också att \text{abs}(|U_n|)=n+\text{abs}(U_{n-1}), d.v.s. \text{abs}(|U_n|) ges av den aritmetiska summan

1+2+3+\hdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.

Vi kan därför slutligen konstatera att

|U_n|=(-1)^{n+1}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}.

Problemet att bestämma |U_n| är hämtat från en övningsuppgift från kursen Combinatoire et optimisation, som jag läser vid UPMC under våren 2015 och som ges av Michel Pocchiola.

 

Algebraisk topologi

covering_spaces

I fredags avslutades kursen Groupe fondamental et revêtements, 6 hp, med buller och brak med en tenta, som skrevs under tre timmar efter lunch. Som namnet antyder handlade kursen om algebraisk topologi, vilket innebär att man använder algebraiska metoder för att studera topologiska rum. Då fransmännen inte verkar ha för vana att studera generella topologiska rum på kandidatnivå (de lägger istället krutet på metriska rum) så inleddes kursen med en snabb genomgång av grundläggande definitioner och resultat, varefter fokus förflyttades till fundamentalgruppen och dess kopplingar till covering spaces (på franska revêtements, men något svenskt namn för dessa objekt har jag ännu inte sett). Kursen kulminerade sedan i ett bevis av Seifert-van Kampens sats, som är ytterst behjälplig då man behöver beräkna den till ett givet topologiskt rum hörande fundamentalgruppen.

Kursen gavs, som tidigare nämnts (se inlägget Vårens kursutbud), av Ilia Itenberg, som gjorde en förnämlig insats. Ilia sysslar annars med tropisk geometri, som kan beskrivas som algebraisk geometri med en twist (bildligt talat). För den intresserade kan jag rekommendera den korta introduktionen What is… a Tropical Curve av Grigory Mikhalkin. Ytterst behjälplig var också Maxim Wolff, som höll i kursens övningstillfällen. Maxim spenderade för övrigt ett utbytesår i Uppsala under sin studietid, och lärde sig algebraisk topologi av ingen mindre än Ryszard Rubinsztein.

Sammanfattningsvis måste jag säga att kursen gav mersmak. Algebraisk topologi är ett fascinerande ämne, och av naturliga skäl hinner man under en introduktionskurs bara skrapa lite på ytan. Men möjligheten att tänka och resonera visuellt, för att sedan befästa sina resonemang i algebraisk formalism, tilltalar mig starkt. Förhoppningsvis blir det mer av den varan framöver.