Något om determinanter

Låt u_1=(1,2,\hdots,n)\in\mathbb{R}^n, och låt u_k=\pi_k\cdot u_1 för k=1,2,\hdots,n, där \pi_k\in S_n är den transposition som byter plats på elementen k och (k-1). Vi ska undersöka determinanten till den kvadratiska n\times n-matrisen U_n vars kolonnvektorer utgörs av u_1,u_2,\hdots,u_n. Några exempel får tydligaregöra konstruktionen:

U_3=\begin{pmatrix}1&2&1\\ 2&1&3\\ 3&3&2\end{pmatrix}, U_4=\begin{pmatrix}1&2&1&1\\ 2&1&3&2\\ 3&3&2&4\\ 4&4&4&3\end{pmatrix}, U_5=\begin{pmatrix}1&2&1&1&1\\ 2&1&3&2&2\\ 3&3&2&4&3\\ 4&4&4&3&5\\ 5&5&5&5&4\end{pmatrix}.

Innan vi gör något annat introducerar vi n\times n-matrisen A_n, som vi definierar enligt följande:

A_n=\begin{pmatrix}0&1&1& &1\\ 1&0&0&\hdots&0\\ 0&0&0& &0\\ &\vdots& &\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\hdots&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1& & & & \\ -1&1& & & \\ &-1&1& & \\ & &\ddots&\ddots& \\ & & &-1&1\end{pmatrix}.

Att beräkna determinanten till A_n görs enkelt genom att alternerande laplaceutveckla längs första kolonnen och första raden. Man finner då att |A_n|=1. Vi kommer strax att ha nytta av detta resultat.

Åter till beräkningen av |U_n|. Vi konstaterar först att |U_1|=1. Låt därför n>1 och betrakta |U_n|. Radreducering ger oss följande identitet:

|U_n|=\begin{vmatrix}1&2&1& &1\\ 2&1&3&\hdots&2\\ 3&3&2& &3\\ &\vdots& &\ddots&\vdots\\ n&n&n&\hdots&n-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&1& &1\\ 0&-3&1&\hdots&0\\ 0&-3&-1& &0\\ &\vdots& &\ddots&\vdots\\ 0&-n&0&\hdots&-1\end{vmatrix}.

Genom att laplaceutveckla determinanten längs den n:e raden ser vi att

|U_n|=n(-1)^{n+1}|A_n|-|U_{n-1}|=n(-1)^{n+1}-|U_{n-1}|.

Eftersom |U_1|>0 och n(-1)^{n+1} är positivt för udda n och negativt annars, så ser vi att |U_n| också är positiv för udda n och negativ annars, emedan n(-1)^{n+1} och -|U_{n-1}| alltid har samma tecken. Därav följer också att \text{abs}(|U_n|)=n+\text{abs}(U_{n-1}), d.v.s. \text{abs}(|U_n|) ges av den aritmetiska summan

1+2+3+\hdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.

Vi kan därför slutligen konstatera att

|U_n|=(-1)^{n+1}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}.

Problemet att bestämma |U_n| är hämtat från en övningsuppgift från kursen Combinatoire et optimisation, som jag läser vid UPMC under våren 2015 och som ges av Michel Pocchiola.

 

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut / Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut / Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut / Ändra )

Google+ photo

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut / Ändra )

Ansluter till %s