Något om determinanter

Låt u_1=(1,2,\hdots,n)\in\mathbb{R}^n, och låt u_k=\pi_k\cdot u_1 för k=1,2,\hdots,n, där \pi_k\in S_n är den transposition som byter plats på elementen k och (k-1). Vi ska undersöka determinanten till den kvadratiska n\times n-matrisen U_n vars kolonnvektorer utgörs av u_1,u_2,\hdots,u_n. Några exempel får tydligaregöra konstruktionen:

U_3=\begin{pmatrix}1&2&1\\ 2&1&3\\ 3&3&2\end{pmatrix}, U_4=\begin{pmatrix}1&2&1&1\\ 2&1&3&2\\ 3&3&2&4\\ 4&4&4&3\end{pmatrix}, U_5=\begin{pmatrix}1&2&1&1&1\\ 2&1&3&2&2\\ 3&3&2&4&3\\ 4&4&4&3&5\\ 5&5&5&5&4\end{pmatrix}.

Innan vi gör något annat introducerar vi n\times n-matrisen A_n, som vi definierar enligt följande:

A_n=\begin{pmatrix}0&1&1& &1\\ 1&0&0&\hdots&0\\ 0&0&0& &0\\ &\vdots& &\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\hdots&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1& & & & \\ -1&1& & & \\ &-1&1& & \\ & &\ddots&\ddots& \\ & & &-1&1\end{pmatrix}.

Att beräkna determinanten till A_n görs enkelt genom att alternerande laplaceutveckla längs första kolonnen och första raden. Man finner då att |A_n|=1. Vi kommer strax att ha nytta av detta resultat.

Åter till beräkningen av |U_n|. Vi konstaterar först att |U_1|=1. Låt därför n>1 och betrakta |U_n|. Radreducering ger oss följande identitet:

|U_n|=\begin{vmatrix}1&2&1& &1\\ 2&1&3&\hdots&2\\ 3&3&2& &3\\ &\vdots& &\ddots&\vdots\\ n&n&n&\hdots&n-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&1& &1\\ 0&-3&1&\hdots&0\\ 0&-3&-1& &0\\ &\vdots& &\ddots&\vdots\\ 0&-n&0&\hdots&-1\end{vmatrix}.

Genom att laplaceutveckla determinanten längs den n:e raden ser vi att

|U_n|=n(-1)^{n+1}|A_n|-|U_{n-1}|=n(-1)^{n+1}-|U_{n-1}|.

Eftersom |U_1|>0 och n(-1)^{n+1} är positivt för udda n och negativt annars, så ser vi att |U_n| också är positiv för udda n och negativ annars, emedan n(-1)^{n+1} och -|U_{n-1}| alltid har samma tecken. Därav följer också att \text{abs}(|U_n|)=n+\text{abs}(U_{n-1}), d.v.s. \text{abs}(|U_n|) ges av den aritmetiska summan

1+2+3+\hdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.

Vi kan därför slutligen konstatera att

|U_n|=(-1)^{n+1}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}.

Problemet att bestämma |U_n| är hämtat från en övningsuppgift från kursen Combinatoire et optimisation, som jag läser vid UPMC under våren 2015 och som ges av Michel Pocchiola.

 

Annonser

Algebraisk topologi

covering_spaces

I fredags avslutades kursen Groupe fondamental et revêtements, 6 hp, med buller och brak med en tenta, som skrevs under tre timmar efter lunch. Som namnet antyder handlade kursen om algebraisk topologi, vilket innebär att man använder algebraiska metoder för att studera topologiska rum. Då fransmännen inte verkar ha för vana att studera generella topologiska rum på kandidatnivå (de lägger istället krutet på metriska rum) så inleddes kursen med en snabb genomgång av grundläggande definitioner och resultat, varefter fokus förflyttades till fundamentalgruppen och dess kopplingar till covering spaces (på franska revêtements, men något svenskt namn för dessa objekt har jag ännu inte sett). Kursen kulminerade sedan i ett bevis av Seifert-van Kampens sats, som är ytterst behjälplig då man behöver beräkna den till ett givet topologiskt rum hörande fundamentalgruppen.

Kursen gavs, som tidigare nämnts (se inlägget Vårens kursutbud), av Ilia Itenberg, som gjorde en förnämlig insats. Ilia sysslar annars med tropisk geometri, som kan beskrivas som algebraisk geometri med en twist (bildligt talat). För den intresserade kan jag rekommendera den korta introduktionen What is… a Tropical Curve av Grigory Mikhalkin. Ytterst behjälplig var också Maxim Wolff, som höll i kursens övningstillfällen. Maxim spenderade för övrigt ett utbytesår i Uppsala under sin studietid, och lärde sig algebraisk topologi av ingen mindre än Ryszard Rubinsztein.

Sammanfattningsvis måste jag säga att kursen gav mersmak. Algebraisk topologi är ett fascinerande ämne, och av naturliga skäl hinner man under en introduktionskurs bara skrapa lite på ytan. Men möjligheten att tänka och resonera visuellt, för att sedan befästa sina resonemang i algebraisk formalism, tilltalar mig starkt. Förhoppningsvis blir det mer av den varan framöver.

En söndag i Boulognerskogen

fondation_louis_vuitton

Efter att hela veckan ha besvärats av en förkylning, var det skönt att vakna imorse och känna att symptomen var på väg att ge sig. Prognosen hade lovat sol och 8 grader, och även om en titt ut genom fönstret visade att ett förargligt dis låg som ett lock över staden, så såg vädret på det hela taget ganska trevligt ut. Jag bestämde mig därför för att ge mig ut på en löptur bland söndagsflanörerna i Bois de Boulogne.

Någon timme senare lubbade jag runt bland träden och gjorde mitt bästa för att undvika att kollidera med hundar och barnfamiljer. En kall vind i kombination med diset som skymde solen fick mig snart att inse att t-shirt och kortbyxor hade varit ett väl optimistiskt klädval, men skam det som ger sig, så jag kämpade vidare. Plötsligt såg jag märkliga former sticka upp över träden en bit bort. Jag tog sikte på dem, och snart stod jag framför Fondation Louis Vuitton, ett konstmuseum, invigt hösten 2014, ritat av den amerikanske arkitekten Frank Gehry (kanske mest känd som arkitekten bakom Guggenheimmuseet i Bilbao, och som tidigare i Paris även ritat den byggnad i vilken Cinémathèque Française huserar).

Museets böljande former fick mig att tänka tillbaka på en lunchföreläsning på UPMC som jag hade nöjet att närvara vid i september i höstas. Föreläsningen gavs av Emmanuel Ferrand, och bar det passande namnet Calcul différentiel et géométrie illustrés par la biologie et l’architecture. Under en timme avhandlades bland annat de fascinerande illustrationer av matematikern och biologen D’Arcy Wentworth Thompson från hans berömda bok On Growth and Form som visar hur avbildningar av olika djur kan transformeras (tänk diffeomorfi) så att de liknar andra arter, samt några av de skapelser som den amerikanske arkitekten och uppfinnaren Richard Buckminster Fuller berikade vår planet med. Som exempel kan nämnas att Fuller hade för vana att experimentera med okonventionella former för byggnader, varav den geodetiska kupolen nog är den som idag främst förknippas med hans namn. Han har på senare år fått ge namn åt fullerenerna (däribland buckminsterfullerenen C_{60}, vars upptäckt 1985, två år efter att Fuller lämnat jordelivet, skulle komma att ge Robert Curl, Harold Kroto och Richard Smalley nobelpriset i kemi 1996).

Un petit devoir

Efter att ha spenderat kvällen tillsammans med min trogne vapendragare Texmaker (som jag varmt kan rekommendera), har jag nu äntligen knåpat ihop och skickat in vårens första devoir (inlämningsuppgift, hemuppgift) i kursen Théorie des nombres. Uppgiften bestod i tre delar, och utmynnade i ett bevis av Ostrowskis sats, som säger att varje icke trivialt absolutbelopp på de rationella talen är ekvivalent med antingen standardabsolutbeloppet \;|.|\; eller med det p-adiska absolutbeloppet \;|.|_p\; för något primtal p. Man kallar två absolutbelopp ekvivalenta om metrikerna de inducerar ger upphov till samma topologi.

På UPMC närmar vi oss terminens första tentaperiod. Nästa vecka har jag tentamen i algebraisk topologi, och veckan därpå är två partiels (duggor), den ena i kombinatorik och den andra i talteori, inplanerade. Tentaförfarandet är lite mer avslappnat i Frankrike än vad jag är van vid från Sverige. Man verkar inte känna något större behov av att planera in tentor i förväg. Istället kastar in dem i kalendern på något lämpligt datum när tiden är mogen för det. Ett par veckor innan utsatt datum informerar man om tentan på en föreläsning. Har man tur kan ytterligare information finnas att tillgå på ansvarig lärares hemsida, men det är snarare undantag än regel.

De tentor jag hittills har skrivit på UPMC har skilt sig markant från de jag skrivit i Sverige. Ofta har tiden varit knapp (90 minuter, även om längre tentor, upp till 3 timmar, också har förekommit) och uppgifterna många (ibland verkligen många). Vanligtvis har man förlagt duggorna till ordinarie föreläsningstillfällen, och då även använt den ordinarie föreläsningssalen till skrivningen. För mig var omställningen chockartad (främst för att jag tycker om att ha gott om tid på mig, åtminstone då jag ska skriva på franska!) men jag har i vilket fall börjat vänja mig vid fransosernas metoder. Och nog är bra att då och då skakas om lite, så att man inte fastnar i samma gamla hjulspår.

Kompletteringar i Cannes

cannes

Efter några grådaskiga veckor i Paris fick jag nog. Jag packade min ryggsäck och tog en nattbuss till Marseille varifrån jag tog tåget vidare till Cannes. Egentligen var beslutet att åka till rivieran inte riktigt så spontant som min inledande mening kanske antyder. Faktum är att jag redan för någon vecka sedan anmälde mig till Semi de Cannes, ett halvmaraton som anordnas i helgen i den klassiska semesterorten, och det är därför jag för några dagar har bytt min regniga, parisiska vardag mot en solig weekend vid Medelhavet. Den faktiska resplanen spikades dock först för ett par dagar sedan, och möjligen kommer en pågående strejk i Provence-Alpes-Côte d’Azur att ytterligare påverka hemresan. Det blir som det blir med det.

Under bussresan till Marseille gjorde jag ett tappert försök att sätta mig in i konstruktionen av de p-adiska talen, som för varje primtal p utgör en kroppsutvidgning av de rationella talen \mathbb{Q}, och som betecknas \mathbb{Q}_p. Närmare bestämt är \mathbb{Q}_p en komplettering av \mathbb{Q}, vilket innebär att man till \mathbb{Q} har lagt till alla de gränsvärden av rationella talserier som inte själva är rationella. Givet standardmetriken på \mathbb{Q}, d.v.s. metriken som ges av d(x,y)=|x-y|, så utgörs kompletteringen av de rationella talen av de reella talen \mathbb{R}. I fallet med de p-adiska talen ger man istället \mathbb{Q} en metrik baserad på det så kallade p-adiska absolutbeloppet, betecknat |.|_p. Den p-adiska metriken d(x,y)=|x-y|_p har egenskapen att x och y ligger nära varandra om deras differens är delbar med p^k för ett stort heltal k. Den är en så kallad ultrametrik, vilket innebär att triangelolikheten i ett rum utrustat med den p-adiska metriken kan ersättas med den starkare olikheten d(x,z)\leq\text{max}\{d(x,y),d(x,z)\}. Detta får ett antal intressanta geometriska följdverkningar. Bland annat är alla trianglar i ett ultrametrisk rum likbenta och varje punkt i en cirkel är dess centrum.

De p-adiska talen har tillämpningar i talteori, där exempelvis Hasse-Minkowskis sats kan användas för att avgöra huruvida vissa diofantiska ekvationer är lösbara. Av den anledningen figurerar de i kursen Théorie des nobres, som jag läser under våren.

Mousse au chocolat

På UPMC hålls en gång i månaden en timmeslång lunchföreläsning i matematik där en inbjuden talare berättar om något intressant ämne på ett sätt som kan tänkas tilltala en bred publik utan särskilda förkunskaper, gärna med en liten twist. Syftet är att inspirera och väcka intresse, och målgruppen är företrädesvis mattestudenter på alla nivåer. Föreläsningsserien går under namnet Aromaths, och under hösten 2015 har ämnen som gorillor och kvadratiska former samt differentialgeometri och arkitektur tagits upp. Förra veckan var det dags för vårens första lunchföreläsning. Juliette Bavard, doktorand på UMPC vars forskningsområde innefattar bland annat lågdimensionell topologi och geometri, höll i rodret, och hon bjöd på en mycket intressant föreläsning på temat hur tillagning av chokladmousse kan förstås från ett topologiskt perspektiv.

Detta tema faller under det relativt nya ämnet topological fluid dynamics, vars mål, föga överraskande, är att studera de topologiska egenskaperna hos fluider (såsom chokladmousse) i rörelse. Tänk dig att du ska vispa chokladmousse. Till din hjälp har du en elvisp. Hur ska elvispens två vispar snurra för att på bästa sätt blanda chokladmoussen? Åt samma håll, eller åt olika håll?

Kanske var det liknande funderingar som manade Philip Boyland, Hassan Aref och Mark Stremler att tillsammans knåpa ihop den fascinerande artikeln Topological fluid mechanics of stirring, som publicerades i Journal of Fluid Mechanics år 2000 och från vilken Juliette hämtat delar av materialet till sin lunchföreläsning. Här beskrivs på ett översiktligt och lättillgängligt sätt, med flertalet illustrationer och utan att fastna i tekniska detaljer, hur topologin hos en yta under omrörning kan förstås genom att betrakta  topologiska flätor, samt genom att tillämpa Thurston-Nielsens klassifikationssats. Tanken är att man utgår från en stor disk D i vilken man placerar n vispar V_1,V_2,\hdots,V_n i form av små diskar, som sedan rör sig kontinuerligt i D (detta är själva omrörningen). Låt således V_{i,t} \subset D beteckna den plats som V_i upptar vid tidpunkten t \geq 0. Vi ställer kravet att V_{i,t} \cap \partial D = \emptyset och V_{i,t} \cap V_{j,t} = \emptyset för alla i, j \in \{ 1, 2, \hdots, n \} och för alla t \geq 0. Vår fluid är den yta i D som inte upptas av visparna, det vill säga X_t = D \setminus (V_{1,t} \cup V_{2,t} \cup \hdots \cup V_{n,t}). Vi kräver av fluiden att en punk som vid t = 0 ligger an mot antingen D eller någon av visparna, också kommer att göra det vid alla t>0 (fluiden kommer alltså att följa med visparna när de rör sig run i D). Själva omrörningen betraktas sedan som en homeomorfism från X_0 till X_t. Man begränsar sig sedan till att studera isotopiklasser av sådana homeomorfismer.

Gauss-Lucas sats

Ett intressant resultat om rötterna till polynom med komplexa koefficienter, kallat Gauss-Lucas sats, är att, givet ett icke konstant polynom P \in \mathbb{C} [X]\; av grad n vars (icke nödvändigtvis distinkta) rötter är z_1,z_2,\hdots,z_n\; så återfinns samtliga rötter till dess derivata P' i det konvexa höljet \text{Conv} (\{z_1,z_2,\hdots,z_n\}) av P:s rötter. Gauss-Lucas sats har uppenbara likheter med Rolles sats, som i sin tur är ett specialfall av medelvärdessatsen. Observera dock att Rolles sats och medelvärdessatsen inte håller för komplexvärda funktioner.

Jag blev bekant med Gauss-Lucas sats efter att dess bevis figurerat som en övningsuppgift i kursen Algèbre géométrique som jag läste under hösten 2015, och fattade genast tycke för den (antagligen just för att den har en så tydlig geometrisk tolkning).

Bevis

Algebrans fundamentalsats låter oss skriva P=c\cdot\Pi_{i=1}^n (z-z_i). Vi tar logaritmen och deriverar, och erhåller då

\frac{P'(z)}{P(z)} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{z-z_i}.

Om z är en rot till P' som inte är en rot till P, så följer att

\frac{P'(z)}{P(z)} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{z-z_i}=0 \;\Rightarrow\; \sum_{i=1}^n\frac{\overline{z}-\overline{z_i}}{|z-z_i|^2}=0.

Från detta följer att

\overline{z}\cdot\sum_{i=1}^n\frac{1}{|z-z_i|^2}=\sum_{i=1}^n\frac{\overline{z_i}}{|z-z_i|^2},

och genom att stuva om lite och konjugera båda leden ser vi att

z=\sum_{i=1}^n\left(\dfrac{z_i}{\sum_{j=1}^n\frac{|z-z_i|^2}{|z-z_j|^2}}\right).

Vi ser nu att z kan skrivas som summan \sum_{i=1}^n\alpha_i z_i, där 0\leq\alpha_i\; och \sum_{i=1}^n\alpha_i=1. Roten z till P' är således en konvexkombination av rötterna z_1,z_2,\hdots,z_n\; till P, vilket innebär att z \in \text{Conv} (\{z_1,z_2,\hdots,z_n\}).

Om, å andra sidan, z är en rot till P' som också är en rot till P, så ser vi genast att z \in \text{Conv} (\{z_1,z_2,\hdots,z_n\}).

\square